Il teorema del coseno

Il teorema del coseno (o "Carnot") generalizza il Teorema di Pitagora a triangoli qualsiasi.

In un triangolo qualsiasi:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$$

dove $\gamma$ è l'angolo opposto al lato $c$.

Se $\gamma =90°$, $\cos 90°=0$, e la formula diventa:

$$c^2=a^2+b^2$$

Cioè il Teorema di Pitagora. Il teorema del coseno è una generalizzazione: il termine $-2ab\cos \gamma$ "corregge" Pitagora quando l'angolo non è retto.

1. SAS: conosci due lati e l'angolo tra essi → trovi il terzo lato.
2. SSS: conosci tutti e tre i lati → trovi gli angoli (ricavi $\cos \gamma$ dalla formula).

Triangolo con $a=5$, $b=7$, $\gamma =60°$. Trova $c$.

$c^2=25+49-2\cdot 5\cdot 7\cdot \cos 60°=74-70\cdot \frac{1}{2}=74-35=39$. Quindi $c=\sqrt{39}$.