Il teorema dei seni

Il teorema dei seni generalizza la trigonometria a qualunque triangolo (non solo rettangoli). È uno strumento potente per risolvere triangoli quando hai dati misti di lati e angoli.

In un triangolo qualunque con lati $a,b,c$ e angoli opposti $\alpha ,\beta ,\gamma$:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$$

$R$ è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.

Tre casi tipici:

1. Conosci due angoli e un lato → trovi gli altri lati.
2. Conosci due lati e un angolo opposto a uno di essi → trovi l'altro angolo (può dare due soluzioni!).
3. Conosci tutto e vuoi trovare il raggio della circoscritta.

Triangolo con $a=10$, $\alpha =30°$, $\beta =45°$. Trova $b$.

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$, da cui $b=\frac{a\sin \beta }{\sin \alpha }=\frac{10\cdot \sin 45°}{\sin 30°}=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=10\sqrt{2}$.