I logaritmi

Il logaritmo è l'operazione inversa della potenza. Scritto ${\log }_{a}x=b$, significa "$a$ elevato a $b$ fa $x$": $a^b=x$.

• ${\log }_{2}8=3$ perché $2^3=8$.
• ${\log }_{10}100=2$ perché $10^2=100$.
• ${\log }_{5}1=0$ perché $5^0=1$.

Due basi sono particolarmente importanti:

• ${\log }_{10}$: logaritmo decimale, scritto spesso $\log$.
• ${\log }_e$ con base $e\approx 2,718$: logaritmo naturale, scritto $\ln$. È quello che la maggior parte della matematica avanzata usa.

La funzione $y={\log }_{a}x$ è definita solo per x > 0. Cresce lentamente (sempre più piano), passa per $(1,0)$ e va verso $-\infty$ quando $x\to 0^{+}$.

I logaritmi convertono moltiplicazioni in somme:

• $\log (xy)=\log x+\log y$
• $\log \frac{x}{y}=\log x-\log y$
• $\log x^n=n\log x$

È per questo che storicamente i logaritmi venivano usati per fare moltiplicazioni difficili.