L'iperbole nel piano cartesiano

Un'iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per cui il valore assoluto della differenza delle distanze da due fuochi è costante.

Un'iperbole con fuochi sull'asse $x$:

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

$a$ è il semiasse trasverso, $b$ è legato all'apertura dei "rami" dell'iperbole. I fuochi sono in $(\pm c,0)$ con $c=\sqrt{a^2+b^2}$.

L'iperbole ha due asintoti: rette a cui i rami si avvicinano sempre più senza toccarle. Hanno equazioni:

$$y=\pm \frac{b}{a}x$$

Quando $a=b$, l'iperbole si chiama equilatera e ha asintoti perpendicolari (le bisettrici dei quadranti). Una loro forma comune è $xy=k$, con asintoti gli assi $x$ e $y$.