Funzione inversa

Data una funzione $f:A\to B$, la sua inversa $f^{-1}:B\to A$ è la funzione che "annulla" $f$: se $f(x)=y$, allora $f^{-1}(y)=x$.

L'inversa esiste solo se $f$ è biiettiva: ogni valore di output deve corrispondere a uno solo valore di input. Funzioni come $f(x)=x^2$ (definita su tutto $\mathbb{R}$) non sono invertibili: $f(2)=f(-2)=4$, quindi non si può "tornare indietro" univocamente.

1. Scrivi $y=f(x)$.
2. Risolvi rispetto a $x$: ottieni $x=g(y)$.
3. Scambia $x$ e $y$: l'inversa è $f^{-1}(x)=g(x)$.

1. $y=2x+3$.
2. $x=\frac{y-3}{2}$.
3. $f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$.

Verifica: $f(f^{-1}(5))=f(1)=2\cdot 1+3=5$. Funziona.

• $f(x)=e^x$ ↔ $f^{-1}(x)=\ln x$
• $f(x)=a^x$ ↔ $f^{-1}(x)={\log }_{a}x$
• $f(x)=x^3$ ↔ $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$
• $f(x)=\sin x$ (su $[-\pi /2,\pi /2]$) ↔ $f^{-1}(x)=\arcsin x$