Equazioni esponenziali

Un'equazione esponenziale ha l'incognita all'esponente. Per esempio: $2^x=8$, $3^{x+1}=81$.

Se entrambi i lati si possono ridurre alla stessa base, gli esponenti sono uguali:

$$a^{f(x)}=a^{g(x)}⟺f(x)=g(x)$$

Esempio: $2^x=8=2^3\to x=3$.

Esempio: $3^{x+1}=81=3^4\to x+1=4\to x=3$.

Quando le basi non si possono uniformare, applica il logaritmo a entrambi i lati:

Esempio: $2^x=7$. Applico $\log$:

$x\log 2=\log 7\to x=\frac{\log 7}{\log 2}\approx 2,807$.

Per equazioni più complesse come $4^x-5\cdot 2^x+4=0$:

Pongo $t=2^x$. Allora $4^x=(2^x{)}^2=t^2$. L'equazione diventa $t^2-5t+4=0$, una quadratica in $t$. Risolvo: $t=1$ o $t=4$. Quindi $2^x=1\to x=0$ o $2^x=4\to x=2$.