L'ellisse nel piano cartesiano

Un'ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti fissi (i fuochi) è costante.

Un'ellisse centrata nell'origine con assi paralleli agli assi cartesiani ha equazione:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

$a$ è il semiasse orizzontale, $b$ il semiasse verticale.

• $a=b$: l'ellisse degenera in un cerchio di raggio $r=a$.
• a > b: ellisse "schiacciata orizzontalmente". Fuochi sull'asse $x$.
• a < b: ellisse "schiacciata verticalmente". Fuochi sull'asse $y$.

Per a > b, i fuochi sono in $(\pm c,0)$ con $c=\sqrt{a^2-b^2}$. L'eccentricità è $e=\frac{c}{a}$, sempre tra $0$ e $1$. $e=0$ → cerchio. $e\to 1$ → ellisse molto allungata.

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. Quindi $a=5$, $b=3$. Semiassi: $5$ orizzontale, $3$ verticale. $c=\sqrt{25-9}=4$. Fuochi: $(\pm 4,0)$.