Crescita e decrescita esponenziale

Una crescita esponenziale è quando una grandezza aumenta moltiplicandosi per un fattore costante in ogni periodo. Una decrescita esponenziale è il contrario: si riduce per fattore costante.

$$f(t)=f_0\cdot a^t$$

$f_0$ è il valore iniziale, a > 0 è il fattore di crescita per unità di tempo:

• a > 1: crescita ($a=1,05$ → +5% per periodo).
• 0 < a < 1: decrescita ($a=0,9$ → -10% per periodo).

Investo $1000$ € al $5\%$ annuo. Dopo $t$ anni:

$f(t)=1000\cdot 1,05^t$

Dopo $10$ anni: $1000\cdot 1,05^{10}\approx 1629$ €.

Un isotopo ha tempo di dimezzamento di $5$ anni: ogni 5 anni la massa si dimezza.

Se all'inizio ho $100$ g, dopo $t$ anni:

$m(t)=100\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/5}$

Spesso si usa la base $e$ (numero di Eulero):

$f(t)=f_0\cdot e^{kt}$

k > 0: crescita. k < 0: decrescita. $k$ è il tasso di crescita istantaneo.