Confronto della crescita di funzioni elementari

Quando $x\to +\infty$, le diverse funzioni elementari crescono a velocità molto diverse. Conoscere la gerarchia ti permette di calcolare limiti complicati senza fatica.

Da quella che cresce più lentamente a quella più velocemente:

1. Logaritmi: $\ln x$, $\log x$.
2. Potenze: $x,x^2,x^{100}$ (qualunque potenza).
3. Esponenziali: $e^x,2^x$ (qualunque base > 1).
4. Fattoriali: $x!$ (cresce ancora più velocemente).

${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x^a}=0$ per ogni a > 0. (I logaritmi perdono contro qualunque potenza.)

${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^a}{e^x}=0$ per ogni $a$. (Le potenze perdono contro l'esponenziale.)

${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^3+5\ln x}{e^x}$.

$x^3$ "vince" su $\ln x$ a numeratore. Ma $e^x$ a denominatore "vince" su $x^3$. Risultato: $0$.

La crescita dell'esponenziale è impressionante: $e^{50}$ ha già $22$ cifre. Ma il fattoriale è ancora più rapido: $50!\approx 3\cdot 10^{64}$.