Coordinate polari

Oltre alle coordinate cartesiane $(x,y)$, esiste un altro sistema per identificare un punto del piano: le coordinate polari.

Un punto $P$ si descrive con due numeri:

• $\rho$ (rho): la distanza dall'origine $O$ (sempre $\ge 0$).
• $\theta$ (theta): l'angolo formato con l'asse $x$ positivo, in senso antiorario.

Si scrive $P(\rho ,\theta )$.

Da polari a cartesiane:

$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$.

Da cartesiane a polari:

$\rho =\sqrt{x^2+y^2},\theta =\arctan \frac{y}{x}$ (con attenzione al quadrante).

• Cerchi e curve "rotonde" hanno equazioni più semplici. $x^2+y^2=r^2$ (cartesiana) diventa semplicemente $\rho =r$ in polari.
• Spirali, rose, lemniscate: curve naturali in polari.
• Fenomeni con simmetria circolare: campi gravitazionali, onde da una sorgente puntiforme, antenne radio.

Punto $(1,1)$ in cartesiane.

$\rho =\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$. $\theta =\arctan (1)=\frac{\pi }{4}$.

Quindi in polari: $(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$.