I teoremi di Euclide

I teoremi di Euclide sono due risultati sui triangoli rettangoli, complementari al Teorema di Pitagora. Riguardano la relazione tra i cateti, l'ipotenusa e l'altezza relativa all'ipotenusa.

In un triangolo rettangolo, ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la propria proiezione sull'ipotenusa:

$$\text{ipotenusa}:\text{cateto}=\text{cateto}:\text{proiezione del cateto}$$

In simboli, se $c$ è l'ipotenusa, $a$ il cateto e $a^{\prime }$ la sua proiezione: $c:a=a:a^{\prime }$, da cui $a^2=c\cdot a^{\prime }$.

L'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei due cateti:

$$h^2=a^{\prime }\cdot b^{\prime }$$

dove $h$ è l'altezza, $a^{\prime }$ e $b^{\prime }$ le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.

Permettono di calcolare lati, proiezioni o l'altezza in un triangolo rettangolo quando hai dati incompleti. Sono molto usati nei problemi di geometria del triennio.

Triangolo rettangolo con ipotenusa $25$ cm e una proiezione $a^{\prime }=16$ cm. Quanto vale il cateto corrispondente?

Per il primo teorema: $a^2=25\cdot 16=400$, da cui $a=20$ cm.