Teorema del resto e di Ruffini — radici dei polinomi

Due teoremi importanti sulla divisione di polinomi: il teorema del resto e il teorema di Ruffini. Sono "due facce della stessa medaglia".

Teorema del resto

Il resto della divisione di un polinomio $P (x)$ per il binomio $(x - a)$ è uguale a $P (a)$ .

Quindi per trovare il resto non serve fare la divisione: basta valutare il polinomio in $a$ .

Resto di $(x^{3} - 2 x^{2} + x - 5) : (x - 3)$ ?

Per il teorema, è $P (3) = 27 - 18 + 3 - 5 = 7$ .

$(x - a)$ divide $P (x)$ esattamente $⟺$ $P (a) = 0$ .

In altre parole: $a$ è una radice di $P$ se e solo se $(x - a)$ è un fattore di $P$ .

Per scomporre $P (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6$ :

Cerco una radice intera. Provo divisori di $6$ : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ .
$P (- 1) = - 1 - 4 - 1 + 6 = 0$ ✓. Trovata: $a = - 1$ .
Per Ruffini, $(x + 1)$ divide $P$ . Faccio la divisione: $P (x) = (x + 1) (x^{2} - 5 x + 6)$ .
Continuo a scomporre: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ .
Risultato finale: $P (x) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)$ .