Operazioni con i numeri complessi

Un numero complesso si scrive $z=a+bi$. $a$ è la parte reale, $b$ la parte immaginaria. Vediamo come si fanno le operazioni.

Si sommano le parti reali tra loro e le parti immaginarie tra loro:

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$

Esempio: $(2+3i)+(1+4i)=3+7i$.

Si moltiplica come tra polinomi, usando $i^2=-1$:

$$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

Esempio: $(2+i)(3-i)=6-2i+3i-i^2=6+i+1=7+i$.

Il coniugato di $z=a+bi$ è $\bar{z}=a-bi$ (cambia segno alla parte immaginaria). Proprietà chiave: $z\cdot \bar{z}=a^2+b^2$, sempre reale e non negativo.

Il modulo di $z=a+bi$ è $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Geometricamente è la distanza di $z$ dall'origine nel piano complesso.

Per dividere si moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

$$\frac{1}{a+bi}=\frac{1\cdot (a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$$