Il binomio di Newton

Il binomio di Newton dà la formula generale per sviluppare $(a+b{)}^n$ per qualunque $n$ intero non negativo.

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$$

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ è il coefficiente binomiale, che si calcola come $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Coefficienti: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{0}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=1,4,6,4,1$.

$$(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$$

I coefficienti binomiali si trovano nel Triangolo di Tartaglia (di Pascal):

             1
            1 1
           1 2 1
          1 3 3 1
         1 4 6 4 1
        1 5 10 10 5 1
      1 6 15 20 15 6 1

Ogni numero è la somma dei due sopra di esso.

• $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$
• $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$
• $(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$

Per $(a-b{)}^n$, alterna i segni: $+,-,+,-,\dots$