Il concetto di limite

Il limite di una funzione descrive il comportamento della funzione vicino a un punto, anche se in quel punto la funzione non è definita o si comporta in modo strano.

Quando scrivi ${\lim }_{x\to c}f(x)=L$ stai dicendo: "man mano che $x$ si avvicina a $c$, $f(x)$ si avvicina a $L$". Non importa quanto vicino vai, $f(x)$ continua a stare vicino a $L$.

Per $f(x)=2x+1$ vale ${\lim }_{x\to 3}(2x+1)=7$. Sostituendo $x=3$ trovi proprio 7. Per le funzioni "buone" (continue) il limite si calcola sostituendo direttamente.

Il limite diventa interessante con funzioni che non si possono valutare direttamente in un punto. Esempio classico:

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

Sostituendo $x=0$ otterresti $\frac{0}{0}$, che non ha senso. Ma analizzando il comportamento vicino a 0, scopri che la funzione si avvicina a 1.

Guarda la funzione $\frac{\sin x}{x}$: vicino a $x=0$ la curva passa proprio per quota 1, anche se in $x=0$ la funzione non è formalmente definita.

A volte la funzione si avvicina a valori diversi a seconda che $x$ si avvicini a $c$ da sinistra o da destra. Si parla di limite destro ${\lim }_{x\to c^{+}}$ e sinistro ${\lim }_{x\to c^{-}}$. Il limite "completo" esiste solo se i due coincidono.