Numeri complessi: introduzione

Tra i numeri reali, l'equazione $x^2=-1$ non ha soluzioni: nessun numero reale al quadrato fa $-1$. Per risolverla si introduce un nuovo numero, l'unità immaginaria $i$, definita da $i^2=-1$.

Un numero complesso ha la forma $z=a+bi$, dove $a$ e $b$ sono numeri reali. La parte $a$ si chiama parte reale, $b$ parte immaginaria. L'insieme dei complessi si indica con $\mathbb{C}$.

I complessi si sommano e moltiplicano come i polinomi, con la regola $i^2=-1$:

• Somma: $(2+3i)+(1+4i)=3+7i$
• Prodotto: $(2+i)(1+3i)=2+6i+i+3i^2=2+7i-3=-1+7i$

Le potenze di $i$ ciclano:

• $i^1=i$
• $i^2=-1$
• $i^3=-i$
• $i^4=1$
• $i^5=i$ (riparte)