Il teorema fondamentale dell'algebra

Il teorema fondamentale dell'algebra è uno dei risultati più eleganti della matematica.

Ogni polinomio non costante di grado $n$ a coefficienti complessi ha esattamente $n$ radici (contate con molteplicità) nei numeri complessi $\mathbb{C}$.

• Un polinomio di grado $1$: $1$ radice.
• Un polinomio di grado $2$: $2$ radici (eventualmente coincidenti, o complesse).
• $x^2+1=0$ ha radici $i$ e $-i$ in $\mathbb{C}$ (in $\mathbb{R}$ non ne avrebbe).
• Un polinomio di grado $5$: esattamente $5$ radici complesse.

Una radice "contata con molteplicità $m$" significa che $(x-a{)}^m$ divide il polinomio. Esempio: $(x-2{)}^3(x+1)$ ha radici $2$ (molteplicità $3$) e $-1$ (molteplicità $1$). Totale: $4$ radici contate, polinomio di grado $4$.

Il teorema fu dimostrato rigorosamente da Carl Friedrich Gauss nella sua tesi di dottorato del $1799$ (a $22$ anni). Esistono oggi molte dimostrazioni; sorprendentemente nessuna è puramente algebrica — tutte usano analisi o topologia.