Teorema degli zeri (Bolzano)

Il teorema degli zeri (o di Bolzano) è un risultato fondamentale del calcolo. Afferma quello che intuitivamente sembra ovvio: se una funzione continua sale "da sotto" a "sopra", da qualche parte ha attraversato lo zero.

Sia $f$ continua su $[a,b]$. Se $f(a)$ e $f(b)$ hanno segni opposti (cioè f(a) \cdot f(b) < 0), allora esiste almeno un punto $c\in (a,b)$ tale che $f(c)=0$.

$f(x)=x^3-x-1$. f(1) = -1 < 0, f(2) = 5 > 0. Per Bolzano, esiste $c\in (1,2)$ tale che $f(c)=0$. Cioè l'equazione $x^3-x-1=0$ ha una soluzione tra $1$ e $2$.

(Numericamente, $c\approx 1,3247\dots$. Bolzano dimostra l'esistenza, non la calcola.)

La continuità è essenziale: senza, la funzione potrebbe "saltare" sopra lo zero senza toccarlo. Esempio classico: $f(x)=\frac{1}{x}$. $f(-1)=-1$, $f(1)=1$, ma non c'è zero in mezzo (la funzione non è definita in $0$).

Il teorema dei valori intermedi è una versione più forte: se $f$ è continua su $[a,b]$ e $y$ è qualunque valore tra $f(a)$ e $f(b)$, allora esiste $c$ con $f(c)=y$. Bolzano è il caso $y=0$.