Le successioni

Una successione è una sequenza ordinata di numeri: $a_1,a_2,a_3,\dots$ Formalmente, è una funzione che a ogni numero naturale $n$ associa un numero reale $a_n$.

• Per formula esplicita: $a_n=2n+1$ → $a_1=3$, $a_2=5$, $a_3=7$, ...
• Per ricorsione: $a_1=1$, $a_n=a_{n-1}+2$. Stessa successione.

• Aritmetica: differenza costante. $1,4,7,10,\dots$
• Geometrica: rapporto costante. $2,6,18,54,\dots$
• Fibonacci: $a_1=a_2=1$, poi $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$. $1,1,2,3,5,8,13,21,\dots$

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$ chiede: "a quale valore tende $a_n$ quando $n$ diventa molto grande?" Tre casi:

• Tende a un valore finito: la successione converge.
• Tende a $\pm \infty$: diverge.
• Non tende a nulla di preciso: oscillante.

$a_n=\frac{1}{n}$: $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ Tende a $0$. È una successione convergente.