Studio di funzione

Lo studio di funzione è il procedimento sistematico per ricavare il grafico di una funzione partendo dalla sua espressione algebrica. È fatto di passi standard.

1. Dominio: per quali valori di $x$ la funzione è definita?
2. Simmetrie: pari ($f(-x)=f(x)$), dispari ($f(-x)=-f(x)$), o nessuna?
3. Intersezioni con gli assi: $f(0)$ (asse $y$); risolvere $f(x)=0$ (asse $x$).
4. Segno: dove f(x) > 0, dove f(x) < 0.
5. Limiti agli estremi del dominio (per individuare asintoti orizzontali, verticali, obliqui).
6. Derivata prima: dove cresce, dove decresce; massimi e minimi.
7. Derivata seconda: concavità (verso l'alto o il basso); flessi.
8. Grafico: mettere insieme tutto.

Ogni passo aggiunge un'informazione al grafico. Alla fine sai: dove esiste la funzione, come si comporta agli estremi, dove sale e dove scende, dove è curva all'insù o all'ingiù. Il grafico viene fuori da solo.

• Dominio: $x\ne 1$.
• $f(0)=0$ (interseca l'asse $y$ nell'origine).
• $f(x)=0⟺x=0$.
• ${\lim }_{x\to 1}f(x)=\pm \infty$: asintoto verticale $x=1$.
• ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=1$: asintoto orizzontale $y=1$.

Già con queste informazioni puoi disegnare la curva con buona approssimazione.