Il prodotto scalare

Il prodotto scalare tra due vettori produce un numero (uno scalare, da cui il nome). Misura "quanto i due vettori puntano nella stessa direzione".

Per componenti:

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=u_x{v}_x+u_y{v}_y$$

Per moduli e angolo:

$$\vec{u}\cdot \vec{v}=|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cdot \cos \theta$$

dove $\theta$ è l'angolo tra i due vettori.

• Vettori paralleli ($\theta =0$): $\cos \theta =1$, prodotto = $|\vec{u}||\vec{v}|$.
• Vettori perpendicolari ($\theta =90°$): $\cos \theta =0$, prodotto = $0$.
• Vettori opposti ($\theta =180°$): $\cos \theta =-1$, prodotto = $-|\vec{u}||\vec{v}|$.

In particolare: $\vec{u}\cdot \vec{v}=0⟺\vec{u}\perp \vec{v}$. Questo è il test rapido di perpendicolarità.

Combinando le due formule:

$$\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}$$

Esempio: $\vec{u}=(3,4)$, $\vec{v}=(4,3)$.
$\vec{u}\cdot \vec{v}=12+12=24$. $|\vec{u}|=5$, $|\vec{v}|=5$. $\cos \theta =\frac{24}{25}=0,96$. $\theta \approx 16,3°$.