Prodotto tra matrici

Il prodotto tra matrici è un'operazione meno banale della somma: si fa "riga per colonna".

Per moltiplicare $A\cdot B$, il numero di colonne di $A$ deve essere uguale al numero di righe di $B$.

Se $A$ è $m\times n$ e $B$ è $n\times p$, il prodotto $AB$ è $m\times p$.

L'elemento in posizione $(i,j)$ del prodotto $AB$ è la "somma dei prodotti" della riga $i$ di $A$ con la colonna $j$ di $B$:

$$(AB{)}_{ij}=\sum _k{A}_{ik}\cdot B_{kj}$$

$A=\left(\begin{array}{cc}1& amp;2\\ 3& amp;4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}5& amp;6\\ 7& amp;8\end{array}\right)$.

$(AB{)}_{11}=1\cdot 5+2\cdot 7=19$
$(AB{)}_{12}=1\cdot 6+2\cdot 8=22$
$(AB{)}_{21}=3\cdot 5+4\cdot 7=43$
$(AB{)}_{22}=3\cdot 6+4\cdot 8=50$

$AB=\left(\begin{array}{cc}19& amp;22\\ 43& amp;50\end{array}\right)$.

In generale $AB\ne BA$. Anzi, spesso $BA$ non si può nemmeno calcolare (dimensioni incompatibili). Quando entrambi esistono, di solito sono diversi.