Matrice inversa 2×2

L'inversa di una matrice $A$ è la matrice $A^{-1}$ tale che $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$ (matrice identità).

Una matrice $A$ ha inversa se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Si dice invertibile o non singolare.

Per $A=\left(\begin{array}{cc}a& amp;b\\ c& amp;d\end{array}\right)$ con $\det A=ad-bc\ne 0$:

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& amp;-b\\ -c& amp;a\end{array}\right)$$

"Scambia gli elementi della diagonale principale, cambia segno all'antidiagonale, dividi tutto per il determinante."

$A=\left(\begin{array}{cc}3& amp;1\\ 4& amp;2\end{array}\right)$, $\det A=2$.

$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& amp;-1\\ -4& amp;3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& amp;-0,5\\ -2& amp;1,5\end{array}\right)$.

Verifica: $A{A}^{-1}$ deve dare la matrice identità.

L'inversa permette di "dividere" per una matrice: $Ax=b\to x=A^{-1}b$. Risolvere sistemi lineari con questo approccio (anche se in pratica si usano metodi più efficienti come Gauss).