Matrice identità e trasposta

Due matrici speciali con proprietà importanti: l'identità $I$ e la trasposta $A^T$.

Quadrata, con $1$ sulla diagonale principale e $0$ altrove:

$$I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& amp;0& amp;0\\ 0& amp;1& amp;0\\ 0& amp;0& amp;1\end{array}\right)$$

È l'elemento neutro del prodotto matriciale: $A\cdot I=I\cdot A=A$ (quando i prodotti hanno senso). Come $1$ per i numeri.

$A^T$ si ottiene scambiando righe e colonne di $A$. L'elemento $(i,j)$ di $A^T$ è l'elemento $(j,i)$ di $A$.

Esempio: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& amp;2& amp;3\\ 4& amp;5& amp;6\end{array}\right)$, $A^T=\left(\begin{array}{cc}1& amp;4\\ 2& amp;5\\ 3& amp;6\end{array}\right)$.

Una matrice $m\times n$ trasposta diventa $n\times m$.

• $(A^T{)}^T=A$ (la trasposta della trasposta è la matrice di partenza).
• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$.
• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ (occhio all'inversione dell'ordine!).

Una matrice $A$ è simmetrica se $A^T=A$. Cioè è uguale alla sua trasposta.

Esempio: $\left(\begin{array}{cc}1& amp;2\\ 2& amp;5\end{array}\right)$. Le matrici simmetriche hanno proprietà eleganti che le rendono importanti in fisica e ottimizzazione.