I limiti notevoli

Esistono alcuni limiti notevoli che ritornano spessissimo nel calcolo. Saperli a memoria è quasi obbligatorio.

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

Vicino a zero, $\sin x$ si comporta come $x$. È uno dei limiti più usati.

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$$

Questa è la definizione classica del numero $e$.

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1$$

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^n}{e^x}=0$$

L'esponenziale cresce più veloce di qualunque polinomio. Anche:

\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0 \quad (a > 0)

I logaritmi crescono più piano di qualunque potenza.