Criterio del confronto per limiti

Il criterio del confronto (o "del sandwich" / "dei carabinieri") è uno strumento potente per calcolare limiti difficili.

Se $g(x)\le f(x)\le h(x)$ in un intorno di $c$, e:

${\lim }_{x\to c}g(x)={\lim }_{x\to c}h(x)=L$,

allora anche ${\lim }_{x\to c}f(x)=L$.

"Se $f$ è incastrata tra $g$ e $h$, e queste due tendono allo stesso valore, allora $f$ deve tendere lì."

Calcolare ${\lim }_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}$.

$\sin \frac{1}{x}$ oscilla tra $-1$ e $1$, ma è limitato. Quindi:

$-|x|\le x\sin \frac{1}{x}\le |x|$

Quando $x\to 0$, sia $-|x|$ che $|x|$ tendono a $0$. Per il sandwich, anche $x\sin \frac{1}{x}\to 0$.

Quando hai una funzione "complicata" da limitare ma puoi maggiorarla e minorarla con due funzioni più semplici. Particolarmente utile per:

• Funzioni oscillanti moltiplicate per qualcosa che va a zero.
• Espressioni che usano $\sin$, $\cos$, $\arctan$ (limitate).