Limiti all'infinito

I limiti all'infinito descrivono cosa succede a una funzione quando $x$ diventa molto grande (in valore assoluto). Sono fondamentali per capire il comportamento "globale".

${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=L$ significa: man mano che $x$ cresce indefinitamente, $f(x)$ si avvicina a $L$.

$L$ può essere finito (asintoto orizzontale), $\pm \infty$ (la funzione esplode), o non esistere (oscillazioni).

Un polinomio $p(x)=a_n{x}^n+\dots$ all'infinito si comporta come il suo termine di grado massimo:

• ${\lim }_{x\to +\infty }p(x)=+\infty$ se a_n > 0, $-\infty$ se a_n < 0.
• Per $x\to -\infty$: dipende dal grado (pari/dispari) e dal segno.

Per $\frac{p(x)}{q(x)}$ con $\mathrm{deg}p$ e $\mathrm{deg}q$ i gradi:

• \deg p < \deg q: limite $0$.
• $\mathrm{deg}p=\mathrm{deg}q$: limite = rapporto dei coefficienti dei termini di grado massimo.
• \deg p > \deg q: limite $\pm \infty$.

• ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x^2-1}{3x^2+5}=\frac{2}{3}$ (stesso grado).
• ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x}{x^2+1}=0$ (numeratore di grado minore).
• ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^3}{x+1}=+\infty$ (numeratore di grado maggiore).