Forma trigonometrica dei numeri complessi

Un numero complesso $z=a+bi$ può essere visto come un punto del piano. La sua posizione è descritta in due modi: cartesiano ($a,b$) o polare (modulo e angolo).

• Modulo: $\rho =|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. È la distanza di $z$ dall'origine.
• Argomento: $\theta =\arg (z)$. È l'angolo formato dal segmento da origine a $z$ con l'asse reale positivo.

Mettendo insieme:

$$z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$$

Coordinate polari del punto $(a,b)$: $a=\rho \cos \theta$, $b=\rho \sin \theta$.

In forma trigonometrica, il prodotto e la potenza di numeri complessi diventano semplicissimi:

$$z_1\cdot z_2={\rho }_1{\rho }_2(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))$$

Si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti. Esponenziale di angoli, in pratica.

Per la potenza:

$$z^n={\rho }^n(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))$$

Calcolare $z^{10}$ in forma cartesiana sarebbe un incubo; in trigonometrica è un secondo.