Applicazioni della derivata

La derivata non è solo un concetto astratto: misura la velocità di variazione di una grandezza, e le sue applicazioni sono ovunque.

Se $s(t)$ è la posizione di un oggetto al tempo $t$:

• $v(t)=s^{\prime }(t)$ è la velocità (derivata della posizione).
• $a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)$ è l'accelerazione (derivata della velocità).

Quindi velocità e accelerazione sono semplicemente derivate di una funzione che descrive la posizione.

Qualunque grandezza che cambia nel tempo (popolazione, temperatura, costo, fatturato) ha una "velocità di cambiamento" che è la derivata. Domande tipo "di quanto cresce ogni anno" sono domande sulla derivata.

Per trovare il massimo o minimo di una funzione, calcoli la derivata, la annulli, e studi il segno. È il modo standard per risolvere problemi tipo "qual è la dimensione che minimizza il costo?" o "quale velocità massimizza l'efficienza?".

Un'azienda ha profitto $P(x)=-2x^2+40x-100$ in funzione del prezzo $x$. Per massimizzarlo:

$P^{\prime }(x)=-4x+40$. Annullo: $-4x+40=0$, da cui $x=10$.

Quindi il prezzo ottimale è $x=10$ (e il profitto massimo è $P(10)=-200+400-100=100$).