Continuità di una funzione

Una funzione è continua in un punto $c$ se il suo grafico, in quel punto, non ha né salti né buchi. Detto in modo formale, devono valere tre condizioni.

1. $f(c)$ è definita (cioè il valore in $c$ esiste).
2. ${\lim }_{x\to c}f(x)$ esiste finito.
3. ${\lim }_{x\to c}f(x)=f(c)$.

Se anche solo una di queste tre cade, $f$ non è continua in $c$.

Le funzioni elementari sono continue dove sono definite:

• Polinomi: continui in tutto $\mathbb{R}$.
• $\sin x$, $\cos x$, $e^x$: continui in tutto $\mathbb{R}$.
• $\frac{1}{x}$: continua per $x\ne 0$.
• $\ln x$: continua per x > 0.
• $\sqrt{x}$: continua per $x\ge 0$.

Tre tipi tipici di discontinuità:

• Eliminabile: limite esiste ma diverso da $f(c)$. Si "rimuove" ridefinendo il valore.
• Salto (di prima specie): limite destro e sinistro esistono ma sono diversi.
• Essenziale (di seconda specie): almeno uno dei limiti laterali è infinito o non esiste.