I numeri irrazionali

Un numero è irrazionale se NON si può scrivere come frazione $\frac{a}{b}$ (con $a,b$ interi). Sono numeri "strani" che hanno espansione decimale infinita e non periodica.

• $\sqrt{2}=1,41421356\dots$ (le cifre non si ripetono mai)
• $\pi =3,14159265\dots$ (rapporto circonferenza/diametro)
• $e=2,71828182\dots$ (numero di Eulero)
• Tante radici: $\sqrt{3},\sqrt{5},\sqrt{6},\dots$

Per assurdo, supponiamo $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ con $a,b$ interi e la frazione ridotta ai minimi termini.

$2=\frac{a^2}{b^2}$, quindi $a^2=2b^2$. Cioè $a^2$ è pari, quindi $a$ è pari ($a=2k$).

Sostituendo: $4k^2=2b^2$, cioè $b^2=2k^2$. Anche $b$ è pari.

Ma allora $a$ e $b$ sono entrambi pari, quindi $\frac{a}{b}$ NON è ridotta. Contraddizione.

Senza dimostrazione, due indicatori utili:

• Radice $\sqrt{n}$ con $n$ non quadrato perfetto: irrazionale.
• $\pi$, $e$, $\ln 2$, $\sin 1°$: tutti irrazionali (dimostrato).