Equazioni irrazionali

Un'equazione irrazionale ha l'incognita sotto una radice. Per risolverla bisogna elevare al quadrato, ma con cautela: questa operazione può introdurre soluzioni fittizie.

Risolvere $\sqrt{x+5}=x-1$.

1. Condizioni: $x+5\ge 0$ (radicando ≥ 0), cioè $x\ge -5$. E $x-1\ge 0$ (la radice è positiva), cioè $x\ge 1$.
2. Elevo al quadrato: $x+5=(x-1{)}^2=x^2-2x+1$.
3. Riarrangio: $x^2-3x-4=0$.
4. Risolvo con la formula: $x=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm 5}{2}$, cioè $x_1=4$ e $x_2=-1$.
5. Verifica: x_2 = -1 < 1, non rispetta la condizione $x\ge 1$. SCARTATA. Resta $x=4$.

Elevando al quadrato perdi l'informazione del segno: $(\text{positivo}{)}^2$ e $(\text{negativo}{)}^2$ danno entrambi un risultato positivo. Quindi l'equazione "elevata" può avere più soluzioni dell'originale.