Equazioni biquadratiche

Una equazione biquadratica ha la forma:

$$a{x}^4+b{x}^2+c=0$$

Cioè un'equazione di quarto grado che contiene solo potenze pari di $x$. Si risolve riducendola a una quadratica.

1. Sostituisci $t=x^2$ (così $x^4=t^2$).
2. L'equazione diventa $a{t}^2+bt+c=0$, una quadratica in $t$.
3. Risolvi per $t$: ottieni $t_1,t_2$.
4. Per ciascuno, risolvi $x^2=t$.
5. Se $t\ge 0$, due soluzioni $x=\pm \sqrt{t}$. Se t < 0, nessuna soluzione reale.

Pongo $t=x^2$: $t^2-5t+4=0$.

Discriminante: $25-16=9$. Soluzioni: $t=\frac{5\pm 3}{2}$, cioè $t_1=4$ e $t_2=1$.

Da $x^2=4$: $x=\pm 2$. Da $x^2=1$: $x=\pm 1$.

Quattro soluzioni: $\{-2,-1,1,2\}$.

A seconda dei segni di $t_1,t_2$:

• t_1, t_2 > 0: $4$ soluzioni reali.
• t_1 > 0, t_2 < 0: $2$ soluzioni.
• t_1, t_2 < 0: $0$ soluzioni reali.
• Stesso ragionamento per $t=0$ (radice doppia).