Disequazioni con il valore assoluto

Le disequazioni con il valore assoluto hanno due forme principali, con risoluzioni opposte.

"Il modulo è minore di $k$" significa -k < x < k.

Esempio: |x| < 3 \iff -3 < x < 3.

Geometricamente: tutti i punti a distanza minore di $3$ dall'origine.

"Il modulo è maggiore di $k$" significa x < -k o x > k.

Esempio: |x| > 3 \iff x < -3 \,\lor\, x > 3.

Geometricamente: tutti i punti a distanza maggiore di $3$ dall'origine (i due "lontani").

Stessa idea, ma con un'espressione $f(x)$ al posto di $x$.

|2x - 1| < 5 → -5 < 2x - 1 < 5 → -4 < 2x < 6 → -2 < x < 3.

• |x| < 0: nessuna soluzione (il modulo è sempre $\ge 0$).
• |x| > -1: tutti i numeri reali (il modulo è \ge 0 > -1 sempre).
• |x| < -3: nessuna soluzione.
• $|x|\ge 0$: tutti i reali.