Disequazioni di secondo grado

Una disequazione di secondo grado ha la forma ax^2 + bx + c > 0 (o <, $\ge$, $\le$). Si risolve studiando il segno della parabola corrispondente.

Il polinomio $a{x}^2+bx+c$ rappresenta una parabola. La disequazione > 0 ti chiede: per quali $x$ la parabola sta sopra l'asse $x$?

Tutto dipende dal segno del discriminante $\Delta =b^2-4ac$:

1. \Delta > 0: la parabola taglia l'asse $x$ in due punti $x_1,x_2$. Il polinomio è positivo "fuori" dalle radici (se a > 0), negativo "dentro".
2. $\Delta =0$: la parabola tocca l'asse $x$ in un punto. Il polinomio non cambia mai segno (eccetto in quel punto).
3. \Delta < 0: la parabola non tocca l'asse $x$. Il polinomio ha lo stesso segno di $a$ ovunque.

$\Delta =1+24=25$. Radici: $x_1=-2,x_2=3$. La parabola apre verso l'alto (a = 1 > 0).

La parabola è sopra l'asse $x$ per x < -2 o x > 3. Quella è la soluzione: x < -2 \,\lor\, x > 3.

Tabella mnemonica per a > 0 e \Delta > 0 (radici x_1 < x_2):

• ax^2 + bx + c > 0 → x < x_1 \lor x > x_2 (esterni alle radici)
• ax^2 + bx + c < 0 → x_1 < x < x_2 (interni)

Se a < 0, le soluzioni si invertono.