Completamento del quadrato

Il completamento del quadrato è una tecnica algebrica che riscrive un polinomio quadratico nella forma del quadrato di un binomio più una costante.

Per $x^2+bx+c$, completiamo il quadrato così:

$$x^2+bx+c={\left(x+\frac{b}{2}\right)}^2+c-\frac{b^2}{4}$$

Aggiungi e togli ${\left(\frac{b}{2}\right)}^2$. I primi tre termini formano un quadrato perfetto.

$\frac{b}{2}=3$, ${\left(\frac{b}{2}\right)}^2=9$.

$x^2+6x+5=(x^2+6x+9)-9+5=(x+3{)}^2-4$.

• Risolvere equazioni quadratiche senza la formula. Da $(x+3{)}^2-4=0$ si arriva subito a $(x+3{)}^2=4$, $x+3=\pm 2$, $x=-1$ o $x=-5$.
• Trovare il vertice di una parabola. La forma $a(x-h{)}^2+k$ ha vertice in $(h,k)$.
• Integrali. Trasforma alcuni integrali in forme standard.

Per $a{x}^2+bx+c$, prima raccogli $a$ dai primi due termini: $a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$. Poi completa il quadrato dentro la parentesi.