Volume dei solidi di rotazione

Quando una curva $y=f(x)$ ruota attorno all'asse $x$, genera un solido di rotazione. Il suo volume si calcola con un integrale.

Volume del solido ottenuto facendo ruotare $y=f(x)$ attorno all'asse $x$ tra $a$ e $b$:

$$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$$

L'idea: ogni "sezione" perpendicolare all'asse $x$ è un disco di raggio $f(x)$ e area $\pi [f(x){]}^2$.

Il cono di altezza $h$ e raggio $r$ è il solido ottenuto facendo ruotare $y=\frac{r}{h}x$ tra $0$ e $h$:

$V=\pi {\int }_0^h{\left(\frac{r}{h}\right)}^2{x}^{2}dx=\pi \frac{r^2}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$.

Ritroviamo la classica formula del cono.

La sfera di raggio $R$ è $y=\sqrt{R^2-x^2}$ ruotata tra $-R$ e $R$:

$V=\pi {\int }_{-R}^R(R^2-x^2)dx=\pi {\left[R^{2}x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-R}^R=\frac{4}{3}\pi R^3$.

La famosa formula della sfera.