L'integrale definito come area

L'integrale definito ${\int }_a^{b}f(x)dx$ rappresenta — geometricamente — l'area compresa tra il grafico della funzione $f$, l'asse $x$, e le rette verticali $x=a$ e $x=b$.

L'idea: dividi l'intervallo $[a,b]$ in tanti pezzettini, su ognuno disegna un rettangolo alto come il valore della funzione, e somma le aree dei rettangoli. Più i pezzettini sono piccoli, più la somma si avvicina all'area vera. Al limite, ottieni l'integrale.

Il teorema fondamentale del calcolo collega integrale e derivata: se $F$ è una primitiva di $f$ (cioè $F^{\prime }(x)=f(x)$), allora:

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

Questa è una delle formule più importanti di tutta la matematica: l'integrazione si fa "annullando" la derivazione.

${\int }_0^{2}xdx$. Una primitiva di $x$ è $\frac{x^2}{2}$. Quindi:

$${\int }_0^{2}xdx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^2=\frac{4}{2}-0=2$$

Geometricamente: l'area del triangolo con vertici $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,2)$, che è $\frac{2\cdot 2}{2}=2$. Coerente.