Derivata: il significato geometrico

La derivata di una funzione $f(x)$ in un punto $x_0$ è la pendenza della retta tangente al grafico in quel punto. Si scrive $f^{\prime }(x_0)$ e dice "quanto velocemente $f$ sta cambiando in $x_0$".

Prendi due punti vicini sul grafico, $(x_0,f(x_0))$ e $(x_0+h,f(x_0+h))$. La retta che li collega ha pendenza:

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Questo è il rapporto incrementale. Quando $h$ tende a zero, i due punti diventano lo stesso punto e la retta diventa la tangente. Da qui la definizione:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

• $f^{\prime }(x_0)>0$: la funzione sta crescendo in $x_0$.
• $f^{\prime }(x_0)<0$: la funzione sta decrescendo.
• $f^{\prime }(x_0)=0$: la tangente è orizzontale — punto di massimo, minimo o flesso.

La derivata di $f(x)=x^2$ è $f^{\prime }(x)=2x$. Quindi:

• In $x=1$: $f^{\prime }(1)=2$. La tangente ha pendenza 2.
• In $x=0$: $f^{\prime }(0)=0$. La tangente è orizzontale (siamo nel vertice della parabola).
• In $x=-2$: $f^{\prime }(-2)=-4$. La tangente scende ripida.

Il grafico mostra $f(x)=x^2$. Sotto, la sua derivata $f^{\prime }(x)=2x$. Nota: dove $f$ ha pendenza zero (in $x=0$), $f^{\prime }$ vale zero.