La distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale descrive la probabilità di ottenere un certo numero di "successi" in $n$ prove indipendenti, ciascuna con probabilità di successo $p$ fissa.

Probabilità di esattamente $k$ successi su $n$ prove:

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$$

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ è il coefficiente binomiale (numero di modi di scegliere $k$ posizioni tra $n$).

Lancio una moneta $5$ volte. Qual è la probabilità di ottenere esattamente $3$ teste? ($p=0,5$, $n=5$, $k=3$.)

$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)(0,5{)}^3(0,5{)}^2=10\cdot 0,125\cdot 0,25=0,3125$.

Cioè il $31,25\%$.

La distribuzione binomiale modella esperimenti tipo:

• Numero di teste in $n$ lanci di moneta.
• Numero di "promossi" in una classe di $n$ alunni con probabilità di promozione $p$.
• Numero di prodotti difettosi in un lotto, ecc.

Il valore atteso (media) di una distribuzione binomiale è $E(X)=np$. La varianza è $np(1-p)$.