Probabilità condizionata

La probabilità condizionata ti dice: "qual è la probabilità di $A$, sapendo che $B$ è successo?". Si scrive $P(A|B)$ e si legge "probabilità di $A$ dato $B$".

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

(con P(B) > 0.) "Numero di casi in cui sia $A$ che $B$ avvengono, diviso per i casi in cui $B$ avviene".

Lanci due dadi. Qual è la probabilità che la somma sia $7$, dato che il primo dado ha mostrato $4$?

Casi possibili sapendo $B$ (primo dado = 4): solo i 6 esiti del secondo dado.

Casi favorevoli: il secondo dado deve fare $3$ (perché $4+3=7$). Solo 1 caso.

$P(A|B)=\frac{1}{6}$.

Due eventi sono indipendenti se $P(A|B)=P(A)$: sapere $B$ non cambia la probabilità di $A$. Equivalentemente: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$.

Esempio: lanciare due dadi sono eventi indipendenti. Il risultato del primo non influenza il secondo.

Confondere $P(A|B)$ con $P(A)$ è uno degli errori più comuni in statistica. La probabilità di avere una certa malattia data una positività al test è molto diversa dalla probabilità di essere positivo data la malattia.