Teoremi di Rolle e Lagrange

I teoremi di Rolle e Lagrange sono due risultati fondamentali del calcolo differenziale. Garantiscono che, sotto certe ipotesi, la derivata "si comporta bene" in qualche punto.

Sia $f$ continua su $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$. Se $f(a)=f(b)$, allora esiste almeno un punto $c\in (a,b)$ tale che $f^{\prime }(c)=0$.

In parole: se la funzione "torna allo stesso valore" agli estremi, da qualche parte in mezzo deve avere una tangente orizzontale (un picco o una valle).

Sia $f$ continua su $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$. Allora esiste un punto $c\in (a,b)$ tale che:

$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

In parole: la pendenza media della funzione tra $a$ e $b$ è uguale alla pendenza istantanea in qualche punto $c$.

Se viaggi $200$ km in $2$ ore (velocità media $100$ km/h), in qualche istante la velocità del tachimetro deve aver segnato esattamente $100$ km/h. Anche se hai accelerato e frenato.

Quando $f(a)=f(b)$, Lagrange dà $f^{\prime }(c)=0$, che è proprio il teorema di Rolle. Quindi Rolle ⊂ Lagrange.