Il teorema di Bayes

Il teorema di Bayes lega le probabilità condizionate $P(A|B)$ e $P(B|A)$. È una delle formule più importanti della statistica e del machine learning.

$$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$$

Inverte la direzione del condizionamento.

Una malattia colpisce l'$1\%$ della popolazione. Un test ha:

• Sensibilità $99\%$: $P(\text{positivo}|\text{malato})=0,99$.
• Specificità $95\%$: $P(\text{negativo}|\text{sano})=0,95$.

Se sei positivo, qual è la probabilità di essere malato?

Per Bayes:

$P(\text{malato}|\text{positivo})=\frac{P(\text{positivo}|\text{malato})\cdot P(\text{malato})}{P(\text{positivo})}$

$P(\text{positivo})=0,99\cdot 0,01+0,05\cdot 0,99\approx 0,0594$ (totale dei positivi: veri + falsi).

$P(\text{malato}|\text{positivo})=\frac{0,99\cdot 0,01}{0,0594}\approx 0,167=16,7\%$.

Sorpresa: anche con un test molto accurato, essere positivi non vuol dire affatto essere quasi certamente malati. La rarità della malattia "diluisce" la certezza.