Studio di funzione: un esempio completo

Vediamo lo studio completo della funzione $f(x)=\frac{x^2-1}{x}$ applicando tutto il "protocollo".

Il denominatore non deve essere zero: $x\ne 0$. Dominio: $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

$f(-x)=\frac{x^2-1}{-x}=-f(x)$. Funzione dispari: simmetrica rispetto all'origine.

$x=0$ non sta nel dominio, quindi nessuna intersezione con asse $y$. Per asse $x$: $f(x)=0⟺x^2=1⟺x=\pm 1$. Punti: $(1,0)$ e $(-1,0)$.

$f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x}$. Segno di numeratore e denominatore separati, poi combina:

• x < -1: $(-)/(-)=+$
• -1 < x < 0: $(-)/(-)=+$... aspetta. Numeratore $(x-1)(x+1)$: -1 < x < 0, (x-1) < 0, (x+1) > 0, prodotto < 0. Denominatore x < 0. Frazione > 0.
• 0 < x < 1: numeratore < 0, denominatore > 0, frazione < 0.
• x > 1: tutto positivo, frazione > 0.

• ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty$: asintoto verticale destro.
• ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty$: asintoto verticale sinistro.
• ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$: cresce all'infinito.

Asintoto obliquo: $y=x$ (la funzione si comporta come $x$ all'infinito perché $\frac{x^2-1}{x}=x-\frac{1}{x}$).

$f^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2-1)}{x^2}=\frac{x^2+1}{x^2}$. Sempre positiva. La funzione è sempre crescente sugli intervalli del dominio.