Le serie numeriche

Una serie numerica è la somma di tutti i termini di una successione: $a_1+a_2+a_3+\dots$ Si scrive ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$. Sembra paradossale sommare infiniti numeri, ma a volte il risultato è un numero finito.

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots =2$$

Sembra strano, ma è vero. Le somme parziali si avvicinano sempre più a $2$ senza mai raggiungerlo. La serie converge a $2$.

Una serie converge se le sue somme parziali $S_n=a_1+a_2+\dots +a_n$ tendono a un valore finito. Altrimenti diverge.

Una serie geometrica ${\sum }_{n=0}^{\infty }{q}^n=1+q+q^2+q^3+\dots$:

• Converge se |q| < 1, e la somma è $\frac{1}{1-q}$.
• Diverge se $|q|\ge 1$.

${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots$ diverge, anche se i termini diventano sempre più piccoli. La somma cresce indefinitamente, anche se molto lentamente.