Perché la serie armonica diverge

La serie armonica ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots$ diverge, anche se i termini diventano arbitrariamente piccoli.

Raggruppa i termini in blocchi:

• $\frac{1}{2}$
• \frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
• \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} > \frac{1}{8} \cdot 4 = \frac{1}{2}
• \frac{1}{9} + \ldots + \frac{1}{16} > \frac{1}{16} \cdot 8 = \frac{1}{2}
• ... ogni blocco contribuisce più di $\frac{1}{2}$.

Avendo infiniti blocchi, ognuno > \frac{1}{2}, la somma totale è infinita.

La serie armonica diverge ma molto lentamente. La somma dei primi $n$ termini è circa $\ln n$.

Per superare $20$, servono circa $e^{20}\approx 5\cdot 10^8$ termini. Crescita logaritmica: lentissima.

• $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (a $\frac{{\pi }^2}{6}$, risultato di Eulero).
• $\sum \frac{1}{n^p}$ converge se p > 1, diverge se $p\le 1$. Si chiama serie armonica generalizzata.