Regola di De L'Hôpital

La regola di De L'Hôpital è un trucco potente per calcolare limiti che danno la forma indeterminata $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$.

Se ${\lim }_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}$ è una forma indeterminata $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$, allora:

$$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

(quando il limite a destra esiste). Cioè: se hai una forma indeterminata, deriva sopra e sotto e ricalcola il limite.

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$: forma $\frac{0}{0}$.

Derivate: $f^{\prime }(x)=\cos x$, $g^{\prime }(x)=1$.

${\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$.

Quindi ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$. (Un risultato che già conoscevamo come limite notevole!)

Se anche dopo De L'Hôpital ottieni una forma indeterminata, applicalo di nuovo. Continua finché ottieni qualcosa di calcolabile.

${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$: $\frac{0}{0}$. Derivo: $\frac{\sin x}{2x}$: ancora $\frac{0}{0}$. Derivo di nuovo: $\frac{\cos x}{2}$: limite $\frac{1}{2}$. Risultato: $\frac{1}{2}$.