Punti di flesso

Un punto di flesso è un punto in cui una funzione cambia concavità: da concava verso l'alto a verso il basso, o viceversa.

Calcola la derivata seconda $f^{\prime \prime }(x)$:

• Dove f''(x) > 0: la funzione è concava verso l'alto (a U).
• Dove f''(x) < 0: concava verso il basso (a ∩).
• Dove $f^{\prime \prime }(x)$ cambia segno: c'è un punto di flesso.

$f^{\prime }(x)=3x^2$, $f^{\prime \prime }(x)=6x$. Segno di $f^{\prime \prime }$:

• x < 0: f'' < 0 → concava verso il basso.
• x > 0: f'' > 0 → concava verso l'alto.

Quindi in $x=0$ c'è un flesso. È un flesso a tangente orizzontale perché anche $f^{\prime }(0)=0$.

• Flesso a tangente orizzontale: $f^{\prime \prime }=0$ e $f^{\prime }=0$ entrambi.
• Flesso a tangente obliqua: $f^{\prime \prime }=0$ ma $f^{\prime }\ne 0$.
• Flesso a tangente verticale: $f^{\prime }$ è infinita (la funzione "si raddrizza in verticale").

I flessi sono importanti nello studio di funzione: ti dicono dove il "tipo di curvatura" cambia. Insieme a massimi/minimi, completano l'informazione qualitativa sul grafico.