Il teorema della probabilità totale

Il teorema della probabilità totale permette di calcolare $P(A)$ scomponendo lo spazio dei casi in eventi disgiunti.

Se $B_1,B_2,\dots ,B_n$ formano una partizione (disgiunti, la loro unione è tutto):

$$P(A)=\sum _{i}P(A|B_i)\cdot P(B_i)$$

Cioè: probabilità di $A$ = somma delle probabilità di $A$ "all'interno di ogni $B_i$", pesate per la probabilità di $B_i$.

Urna 1: $5$ palline rosse, $3$ blu. Urna 2: $2$ rosse, $6$ blu. Scelgo a caso un'urna ($P=0,5$ ciascuna), poi pesco una pallina. Probabilità di pescare rossa?

$P(\text{rossa})=P(\text{rossa}|U_1)P(U_1)+P(\text{rossa}|U_2)P(U_2)$

$=\frac{5}{8}\cdot \frac{1}{2}+\frac{2}{8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{16}+\frac{2}{16}=\frac{7}{16}$.

Quando hai un esperimento "a due livelli": prima si decide qualcosa (l'urna, lo stato della strada, la categoria di clienti), poi si osserva $A$. Le $B_i$ sono i possibili "primi livelli".