Massimi e minimi di una funzione

Un massimo locale di $f$ è un punto $x_0$ dove la funzione vale di più che nei punti vicini. Un minimo locale è il contrario. Sono i "picchi" e le "valli" del grafico.

Nei punti di massimo o di minimo (interni al dominio, dove $f$ è derivabile) vale $f^{\prime }(x_0)=0$. La tangente è orizzontale.

Però attenzione: $f^{\prime }(x_0)=0$ non basta — è solo una condizione necessaria. Bisogna verificare il segno della derivata intorno a $x_0$:

• Se $f^{\prime }$ passa da $+$ a $-$ in $x_0$: massimo locale.
• Se $f^{\prime }$ passa da $-$ a $+$ in $x_0$: minimo locale.
• Se $f^{\prime }$ non cambia segno: punto stazionario, ma non è né max né min (è un flesso a tangente orizzontale).

$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.

$f^{\prime }(x)=0$ per $x=1$ e $x=-1$. Studiamo il segno di $f^{\prime }$:

• x < -1: f' > 0, $f$ cresce.
• -1 < x < 1: f' < 0, $f$ decresce.
• x > 1: f' > 0, $f$ cresce.

Quindi: massimo in $x=-1$, minimo in $x=1$.